Curve equipotenziali

Dopo lungo silenzio propongo un quesito di Fisica nell’ambito dell’elettrostatica.

Immaginate due superfici piane uniformemente cariche disposte perpendicolarmente (V. figura).Piani-carichi

Assumendo che il supporto della carica sia un dielettrico, in modo che si possa pensare la carica fissa, occorre determinare le linee equipotenziali all’interno del quadrante delimitato dalle superfici.

Sono noti i seguenti dati:

  • le due superfici generano un campo elettrico identico a quello di superfici infinite;
  • le densità di carica sono: σ+ per la superficie orizzontale, 3σ per quella verticale;

Un suggerimento: trattate il quadrante come parte di un riferimento cartesiano e tenete presente che lo scopo è quello di determinare l’equazione di una linea secondo le condizioni di equipotenzialità.

Per tutti coloro che parteciperanno con contributi significativi verrà attribuita una gratifica pari a (+); per la soluzione completa e corretta la gratifica è (++++).

Buon divertimento.

8 Responses to “Curve equipotenziali”

  1. Essendo le lastre, o superfici infinite, supporti dielettrici (isolanti) è necessario stabilire in quali punti i potenziali di entrambe si uguagliano. Sarà sufficiente trovare un punto che soddisfi tale caratteristica per poi risalire alla retta di appartenenza che sarà composta da altri punti equipotenziali.
    Prima cosa considero un punto P all’interno del quadrante formato dalle due lastre.
    Calcolo il campo del punto P generato dalla superficie negativa pari a -3δ/2εo e quello generato dalla superficie positiva pari a δ/2εo.
    Il potenziale per definizione è il lavoro che deve compiere la forza dovuta al campo elettrico per spostare una o più cariche da un punto (P) fino al punto dove si assume potenziale zero. Pongo il potenziale zero in corrispondenza della lastra positiva. Il potenziale sarà quindi il prodotto scalare tra il vettore campo e il vettore spostamento (da P a V=0).
    Calcolo il potenziale di P generato dalla lastra negativa, pari a zero perchè il prodotto scalare comporta il prodotto dei due moduli di campo e spostamento e il coseno dell’angolo formato dai due vettori, il quale è 90° e quindi il cos è 0.
    Il potenziale generato dalla lastra positiva dal punto P ha come modulo V= – δ/2εo x (spostamento da P alla lastra positiva).
    Uguaglio i moduli dei potenziali e ottengo che, affinchè l’equazione sia vera, lo spostamento da P alla lastra positiva(V=0) deve essere zero.
    Considerando un’equazione lineare del tipo y= mx+q; q sembra essere proprio lo spostamento da P a V=0 e cioè pari a zero.
    Se sostituiamo le coordinate del punto P (campo generato da lastra negativa; spostamento P a V=0) ottengo che m è anch’esso zero.
    Sembra quindi che l’unica zona equipotenziale sia la sola lastra positiva. Cosa alquanto contraddittoria…

  2. Ringrazio Bianca B. per il commento che ha il merito di avviare la discussione (e per questo si aggiudica un +!). Infatti il contributo presenta, come l’autrice stessa segnala, aspetti “contraddittori” che sono dovuti ad alcuni errori di impostazione e di procedimento.
    Ne faccio un’analisi per incoraggire lei e altri a correggerli e procedere verso la soluzione.
    1) In relazione al potenziale è corretta la definizione e si può certamente assumerlo nullo su un punto della lastra positiva, ma non è possibile supporre che l’intera lastra sia equipotenziale (altrimenti il problema sarebbe risolto) questo perché il potenziale è influenzato dalla presenza delle due lastre: entrambe contribuiscono a determinarlo in ogni punto dello spazio.
    2) Il calcolo del potenziale del punto P, che si evince è a distanza x dalla lastra positiva e sulla stessa linea verticale, è corretto; quello che è errato è voler uguagliare a zero questo potenziale (da qui la contradizione): infatti il potenziale del punto P è la somma di un termine nullo (quello della lastra negativa) e di un termine diverso da zero (quello della lastra positiva);
    3) A questo punto si tratta di trovare quali altri punti, distinti da P, abbiano lo stesso valore del potenziale, e calcolarlo rispetto allo stesso putno scelto come riferimento nullo.
    4) L’autrice inoltre parla spesso di “retta” come se sapesse che le lineee equipotenziali sono linee di qusto tipo. In realtà il problema è proprio quello di individuare queste linee: se son rette fioriranno!
    Spero che questi commenti indirizzino gli ulteriori interventi.
    Buon lavoro.

  3. buonasera! senza grafici risulta difficile spiegare la soluzione, ma ci si prova.
    intanto, come premessa, utilizzo un punto P generico di coordinate (x;y) e fisso come punto a potenziale zero l’origine degli assi cartesiani tracciati sulle lastre.
    il potenziale, essendo uno scalare, si può calcolare come somma di contributi delle due lastre.
    A è la lastra con densità negativa, B la positiva
    V(p)= V(a)+V(b)
    il potenziale si calcola come lavoro su carica(sostituisco però subito il campo a F/C), quindi
    V(a)= E(a)cos(@)OP
    V(b)= E(b)cos(@+pi/2)OP
    (in cui op è la distanza fino allo zero e @ è l’angolo che essa forma con il vettore campo della lastra A)
    ma cos(@)OP=x e cos(@+pi/2)OP=y, quindi la formula finale viene V(p)= E(a)x+E(b)y che,una volta inserita la formula del campo e risistemata, risulta:
    y= 3x-(2epsilon/delta)V
    quindi le linee equipotenziali appartengono a un fascio in proprio di coefficiente 3 e termine noto parametrico secondo il valore del potenziale.
    comprensiblie?
    B.

  4. Buonasera, provo a condividere il mio procedimento.
    Pongo V=0 in un punto generico che chiamo Q sulla lastra orizzontale.
    Scelgo un punto P nel quadrante delimitato dalle due lastre e calcolo i potenziali delle due lastre rispetto al punto P e chiamo x la distanza PQ.
    V (lastra con carica negativa) = x 3δ/2εo cos (π/2 + α ) (V) –> considero l’angolo formato dal vettore campo e spostamento. Utilizzando gli archi associati ottengo: x (-sinα 3δ/2εo) (V)
    V(lastra con carica positiva) = x ( -δ/2εo) cos (π + α) —> cos α (δ/2εo) x (V)
    A questo punto uguaglio i due potenziali e ottengo che: cos α = -3 sin α .
    Utilizzando la relazione fondamentale: sin^2 x + cos^2 x = 1 ottengo che sin α = (sqrt 10)/10.
    Qual è adesso l’idea? Voglio trovare un fascio improprio di rette, a cui il punto P appartiene, tale da trovare rette equipotenziali. Tutto rispetto al punto Q a potenziale nullo. Quindi il mio obiettivo è quello di individuare il coefficiente della retta passante per P che intersechi l’asse delle ordinate formando un angolo α e tale da formare un angolo Beta intersecandosi con l’asse x nel punto Q.
    Mi si forma un triangolo rettangolo (origine- punto Q e punto di incontro con la retta Y). Usando la trigonometria la tangente dell’angolo beta e quindi il coefficiente della retta passante per P risulta essere cotg α. Scrivo quindi il fascio improprio –> Y= – (3 sqrt 10)/10 x + q.

  5. Ci riprovo! Rifacendomi ai miei punti di riferimento e ai dati che avevo trovato, riscrivo parte della mia analisi del problema.
    Denomino il punto della lastra positiva a potenziale zero con la lettera A.
    Il potenziale di P (considerato come un punto appartenente alla perpendicolare alla lastra positiva passante per A) è dunque la somma dei contributi delle due lastre che già avevo trovato, dunque la somma sarà: 0– δ/2εo x (spostamento da P alla lastra positiva).
    Adesso voglio trovare le linee dello spazio che contengono punti col medesimo potenziale di P.
    Sicuramente i punti appartenenti alla retta perpendicolare alla lastra positiva e passante per P non possono avere il suo stesso potenziale, visto che in tutti il contributo della lastra negativa resterebbe zero ma quello della lastra positiva aumenterebbe o diminuirebbe a seconda del valore che assume x ( più piccolo, più il punto è vicino ad A e più grande, più il punto si allontana ad A).
    Possiamo affermare che qualsiasi punto dello spazio interno alle due lastre io prenda avrà un potenziale derivante dal contributo delle due lastre; spostandosi dalla retta passante per P ed A verso sinistra si nota come, per tutti i punti dello spazio, entrambi gli angoli formati rispettivamente dai vettori E1 (lastra negativa) e S (spostamento del punto fino ad A) ed E2 (lastra positiva)e S, siano ottusi e quindi con coseno negativo; tradotto , il potenziale di un generico punto C nello spazio a sinistra della retta passante per P ed A, sarà: 3δ/2εo S – δ/2εo S.
    Uguagliando tale potenziale di C a quello di P, viene fuori che la x affinché il potenziale di C sia uguale a quello di P , debba essere : x=-2S.
    Considerando la parte a destra della retta passante per P ed A, notiamo che,per tutti i punti dello spazio, entrambi gli angoli formati rispettivamente dai vettori E1 e S ed E2 e S, siano acuti e quindi con coseno positivo; tradotto, il potenziale di un generico punto B nello spazio a destra della retta passante per A e P, sarà: -3δ/2εo S + δ/2εo S.
    Uguagliando tale potenziale di B a quello di P, viene fuori che la x affinché il potenziale di B sia uguale a quello di P , debba essere :
    x= 2S.
    Sembra qualitativamente dunque che la linea equipotenziale da trovare, sia una sorta di curva che parte dalle prossimità dell’origine del piano cartesiano e salendo tocchi P per poi scendere verso il basso… sembra quasi una collina… purtroppo non riesco a capire come trovarne l’equazione.

  6. In risposta all’intervento di Caponi.
    Le considerazioni iniziali sono corrette, tranne la valutazione di un angolo, quindi anche i singoli potenziali delle due sorgenti sono corretti. Ma ti perdi quando affermi “A questo punto uguaglio i due potenziali e ottengo…” perchè i potenziali non devono essere uguagliati ma sommati dal momento che entrambe le sorgenti contribuiscono al potenziale nel punto scelto. Il resto si porta dietro questo errore. Inoltre, la ricerca di “rette equipoteziali” è prematura: chi sa se le linee equipotenziali saranno rette?
    Gratifica: (+)

  7. In risposta al secondo intervento di Becchetti.
    La trattazione è più matura rispetto a quella precedente e prende le mosse in modo corretto con il tentativo di uguagliare i valori di potenziale di due punti generici; purtroppo hai fretta e perdi per la strada i valori dei coseni implicati nelle definizioni di prodotto scalare. Quando tenti di uguagliare i valori ottenuti hai risultati errati che non sono interpretabili in modo corretto: “le collinette di potenziale“!
    Gratifica: (+).

  8. I risposta all’intervento di Turini.
    Corretto.
    Sia l’impostazione che lo svilpppo (che contiene un classico evento di cancellazione di due piccoli errori opposti) portano ad un risultato che evidenzia come le linee equipotenziali costituiscano un fascio improprio di rette il cui coefficiente angolare dipende dal rapporto delle densità di carica delle due lastre e il termine noto dal valore del potenziale. In particolare la retta a potenziale nullo passa (ovviamente) dall’origine.
    Complimenti, gratifica (++++).

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