Curve equipotenziali

Dopo lungo silenzio propongo un quesito di Fisica nell’ambito dell’elettrostatica.

Immaginate due superfici piane uniformemente cariche disposte perpendicolarmente (V. figura).Piani-carichi

Assumendo che il supporto della carica sia un dielettrico, in modo che si possa pensare la carica fissa, occorre determinare le linee equipotenziali all’interno del quadrante delimitato dalle superfici.

Sono noti i seguenti dati:

  • le due superfici generano un campo elettrico identico a quello di superfici infinite;
  • le densità di carica sono: σ+ per la superficie orizzontale, 3σ per quella verticale;

Un suggerimento: trattate il quadrante come parte di un riferimento cartesiano e tenete presente che lo scopo è quello di determinare l’equazione di una linea secondo le condizioni di equipotenzialità.

Per tutti coloro che parteciperanno con contributi significativi verrà attribuita una gratifica pari a (+); per la soluzione completa e corretta la gratifica è (++++).

Buon divertimento.

Parole palindromemordnilap

Le parole palindrome sono quelle la cui lettura è invariante per verso.

Vi propongo una piccola riflessione combinatoria.

Data una parola di n caratteri che sia palindroma, quante altre palindrome, distinte, se ne possono creare, inidpendentememte dal fatto che abbiamo o meno un senso?

Buon divertimento.

Gratifiche: (+) per contributi ritenuti significativi, (++) per contributi decisivi, (+++) per una soluzione corretta e completa.

Nuove Funzioni

Riprendo, dopo una lunga interruzione, i contributi di matematica per solleticare i curiosi.

In questo contributo vi chiedo di dare una rappresentazione grafica o descrittiva, di due funzioni.

Preliminarmente definisco una nuova funzione (non per tutti ovviamente): si dice PI(x) (parte intera di x) quella funzione che associa ad ogni reale la sua parte intera; per sempio PI(3,56)= 3, PI(-1,45)= -1, PI(6,0001)= 6, PI(1,99999)= 1.

Il problema posto:

descrivere le funzioni

  1. f1(x)=x·PI(X);
  2. f2(x)= x- x·PI(X)

Se le risposte provengono da studenti riconoscibili entro le 24:00 di giovedì 15 gennaio 2015, allora vi saranno gratifche: i famosi (+).

Il problema è comunque aperto a tutti i curiosi del Blog.

Buod divertimento, S. Piccioli

Curve industriali

Dopo un anno un nuovo contributo.

Questa volta il problema, di natura matematica, vuole stimolare anche le vostre capacità di ricerca di informazioni.

Veniamo alla formulazione: nella figura a lato Leboleè visibile un arco in cemento che rappresentava il logo di una, credo ormai, estinta azienda empolese di abbigliamento. La curiosa costruzione ha l’aria di essere un arco di parabola con concavità verso il basso. Quindi vi chiedo di:

  1. realizzare una foto del “monumento industriale “;
  2. utilizzare un programma di rappresentazione grafica di curva matematiche (es. GeoGebra) sul quale riportare la foto associandola ad un riferimento cartesiano;
  3. scegliere alcuni punti della curva (almeno 3) e determinare se l’arco è meglio descritto da:
    • una parabola;
    • una funzione “Coseno Iperbolico”;

Non fornisco nessuna informazione sul Coseno Iperbolico lasciandovi il compito di cercare la sua definizione è applicarla al caso in questione.

Le gratifiche:

  1. (++++) per una soluzione completa di immagini calcoli e commenti;
  2. (+) per reperire informazioni sulla funzione “Coseno Iperbolico”.

La scadenza è posta al 1 dicembre 2013.

Buon divertimento

Magie paraboliche

Ancora un contributo per i matematici amanti dei calcoli (talvolta un rifugio per chi ha poche idee!)

Provate a dimostrare che, data una qualunque parabola ad asse verticale, le tangenti condotte da un qualunque punto della sua direttrice sono perpendicolari!!

Attenzione: occorre provare con un punto generico non scegliere un punto a piacere ma determinato!

Per chi riesce a dare la dimostrazione corretta e completa c’è un ricco (+++);  in questo caso, dato che il cimento è più arduo, la scadenza è posta alle ore 22:00 del 31 dicembre, così vi resta il tempo per cenare e brindare.

Buon divertimento, S. Piccioli

Le proprietà della parabola

Un problema per gli amanti delle relazioni matematiche (leggi formule).

Assumendo note le coordinate del vertice di una parabola ad asse verticale: V(-b/2a;-Δ/4a) riuscite a trovare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice sapendo solo che occorre aggiungere o togliere all’ordinata del vertice il termine 1/4a?

Attenzione! è ovvio che basta andare a cercare le formule su un testo qualunque, quello che chiedo è invece che si conduca un ragionamento tramite il quale, partendo dalla conoscenza delle caratteristiche delle parabole, porti alla scrittura delle formule corrette.

Per chi riesce a convincermi è in palio un (++).

La scadenza del problema è prevista entro la notte di Natale: le 24:00 del 24 dicembre 2012 (sempre che il mondo esista ancora! 😆 )

Buon lavoro, S. Piccioli

Diventare Gruista?

Avete deciso che da grandi farete il gruista, il che vi consentirà di non dovervi più scontrare con la Fisica.

Ma chissà!

Il vostro datore di lavoro vi assegna una bella gru, come quella in figura, con un braccio di carico e un braccio di contrappeso di lunghezza diversa, fatti dello stesso materiale distribuito in modo omogeneo.

Il braccio di contrappeso è lungo 5 m e porta all’estremo una massa di 2000 Kg che è 10 volte la massa del braccio stesso

Le caratteristiche della gru specificano che è in equilibrio se il braccio di carico porta una massa di 320 Kg posta al centro del braccio stesso.

Quanto è lungo il braccio di carico? E quale massa potete sospendere alla sua estremità più lontana mantenendo la gru in equilibrio?

Condensare i condensatori

Avete ricevuto in regalo una scatola di n2 (n>1) condensatori tutti della stessa capacità C. Ma per quello che vi serve avete bisogno di un solo condensatore di capacità C.

Ecco il problema!

Non volete far torto a chi vi ha fatto il regalo e quindi decidete di usare tutti gli n2 condesnatori per ottenerne uno equivalente di capacità C.

Come li potete collegare?

La “Metamorfosi”

Si tratta ancora di trasformazioni geometriche ma…

Immaginate una circonferenza con centro nell’origine del piano cartesiano e raggio R.
Adesso pensate ad una trasformazione che associa ad ogni punto P del piano distante r dall’origine, un punto P’ nel seguente modo:

P’ è sulla retta OP e dista dall’origine r’ = (R^2)/r (il carattere ^ indica la potenza)

Non chiedo neppure se si tratta di una affinità, non lo è, ma ecco ciò che chiedo:

  1. quali sono, se esistono, gli elementi uniti?

  2. ci sono invarianti?

  3. sapete trovare le equazioni cartesiane della trasformazione (ovvero quelle che esprimono le coordinate variate rispetto a quelle orginali) e la matrice associata?

Il caso non è banale, quindi non metto limiti di tempo nè gratifiche a priori; ci saranno, ma dipenderà molto dal livello degli interventi.

Buon divertimento.

Oscure Trasformazioni

Avete a disposizione solo la matrice associata ad una trasformazione, nel piano tridimensionale, della quale però non conoscete la colonna dei termini noti. L’unica altra informazione è che il punto di coordinate A(1,2,3) viene trasformato in A'(3,2,1). Sapreste determinare anche i coefficienti di traslazione?

La matrice è 

 

Per commenti a questo articolo la gratifica è (+) se significativi; (++) se risolutivi.

Buon lavoro, S. P.

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