La moltiplicazione per 11

Già nel passato anno scolastico avevamo affrontato questi ‘trucchetti’ di calcolo mentale. A poco a poco, e tempo permettendo,  inseriremo in questo spazio le nostre osservazioni e le nostre scoperte.

Iniziamo con la moltiplicazione per 11.

La moltiplicazione per 11 è molto semplice, ma si può anche imparare a farla mentalmente.

Prendiamo come esempio

254 x 11

Diapositiva1

Il prodotto è 2 794

Una  strategia viene suggerita da Enrico, da Fabrizio A. e da Giovanni:

  1. Si sceglie un numero
  2. Lo si moltiplica per 10
  3. Si aggiunge il numero scelto al prodotto

Esempio:

342 x 11

  1. 342×10= 3 420
  2. 3 420+342= 3 762

Daniele osserva che nel risultato della moltiplicazione in colonna sono presenti le cifre 2 e 4 che si trovano nel primo fattore. Per ottenere le altre cifre del prodotto effettua delle somme:

il 9 del risultato lo ottiene sommando il 4 con la cifra di sinistra vicina:

5+4 è uguale a 9;

e il 7 lo ottiene sommando il 5 con la cifra vicina 2

5+2 è uguale a 7.

Perciò, per eseguire la moltiplicazione per 11 si possono seguire i seguenti passaggi:

Diapositiva3

Sì, ci sembra che tutto proceda bene 🙂

Il giorno dopo raccontiamo ad un compagno che era assente il nostro lavoro e lo invitiamo a risolvere mentalmente una moltiplicazione per 11, utilizzando la strategia scoperta.

274 x 11

Diapositiva4

Il risultato è un numero enorme: 21 014

Ci chiediamo se questo è possibile.

Alcuni di noi ricordano l’approssimazione che ci aiuta a prevedere e a controllare i risultati delle operazioni.

Il 274 nella linea dei numeri è più vicino al 300

Diapositiva5

Possiamo allora pensare a 300 x 11.

Se moltiplichiamo il 300 per la decina di 11 – 300 x 10 – otteniamo 3 000.

Ci rendiamo subito conto che 3 000 è molto più piccolo di 21 000.

Quindi c’è stato un errore nell’applicare la strategia per 11.

Correggiamo, prestando attenzione ai riporti.

Diapositiva6

Adesso va bene. 😉

Questa strategia quindi può essere usata sempre e con tutti i numeri.

Ci sentiamo più soddisfatti.

I bambini e le bambine insieme a m.stra Maria Giovanna

Quinta di Caniga
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La divisione per 11

E dato che siamo in tema…;-) proviamo a cercare qualche strategia nella divisione per 11.

Siamo partiti da un numero già usato:

274:11

274 non è un multiplo di 11,

infatti:

274= 24×11+10

Come possiamo trasformare il dividendo per ottenere una divisione perfetta?

Diversi di noi scrivono questi dividendi:

275; 264; 200; 3322; 242;…

Li verifichiamo con la divisione abituale e scartiamo quelli non divisibili per 11.

A questo punto c’è una corsa di alcuni (beh! forse esagero) per trovare numeri divisibili per 11.

Ecco delle osservazioni, alcune più articolate e altre abbozzate.

Fabrizio O. ha lavorato con alcune divisioni. Ecco la sua verbalizzazione:

Diapositiva9

Io mi sono accorto che in queste divisioni per 11 c’è una regola che mi faceva indovinare i quozienti senza fare la divisione in colonna:

divisibilità per 11quinta 2014 

Con il numero 109 910 la divisione non è perfetta; il quoziente è 9991, con un resto di 9.

 

Io ho provato anche con un numero a tre cifre: 525 dove le cifre dispari erano posizionate una a destra e una a sinistra e la cifra pari al centro, ma ho visto che la divisione non era perfetta.

 

Provo a fare prima le cifre pari a destra e a sinistra e al centro una cifra dispari: 636:11= 57 con un resto di 9.

 

Voglio provare con pari pari e dispari: 887 e sempre non mi dà la divisione perfetta.

 

Voglio provare con un numero dispari dispari e pari: 778:11 e senza eseguire la divisione mi sono accorto che non è perfetta. Il quoziente è 70 e il resto è 8.

Diapositiva7 Diapositiva8

Adesso il criterio di divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre di posto dispari meno la somma delle cifre di posto pari è zero o un altro multiplo di 11.

Così,  4 763 è divisibile per 11, perché

la somma delle cifre collocate negli spazi pari è:

7+3= 10

La somma delle cifre collocate negli spazi dispari è:

4+6= 10

La differenza tra queste due somme (ottenuta sottraendo il numero minore dal maggiore) è:

10-10=0

Diapositiva2 Tra i multipli di 11, Bruno D’Amore e Pinilla,  nel libro http://www.erickson.it/Libri/Pagine/Scheda-Libro.aspx?ItemId=38233 aggiungono sia lo zero sia 11:
“I multipli di un numero naturale sono tutti quei numeri naturali che si ottengono moltiplicando il numero stesso per ogni altro numero naturale”.

Esiste un altro criterio di divisibilità per 11 utile per numeri a tre cifre.

Prendiamo il numero 528.

Si separa il numero scelto in gruppi di due cifre, partendo da destra verso sinistra, e poi si sommano questi gruppi:

5 + 28= 33

Se la somma è un multiplo di 11, il numero scelto è divisibile; in caso contrario non è divisibile.

E anche questa è fatta!

ps. cliccate sulle immagini per visionare le scritte.

I bambini e le bambine insieme a m.stra Maria Giovanna

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