Il senso del numero

Quando sorse nella testa dell’uomo l’idea del numero?

Andare alle origini della matematica significa tornare indietro nel tempo, ai primordi della storia umana.

La matematica prima di essere una scienza è stata un insieme di metodi pratici che servivano per dare risposte a problemi concreti e quotidiani dei nostri progenitori.

Il senso del numero è rilevabile anche nel comportamento di molti animali. Se il nido di un uccello contiene quattro uova e ne portiamo via uno, l’uccello non se ne accorge. Se invece prendiamo due uova, l’animale se ne rende conto e da quel momento in poi diserta il nido. Questo fa pensare che almeno fino a due , un uccello sa contare e che -al di là di tale numero- fa confusione fra tre e quattro.

A questo proposito il naturalista John Lubbock ha raccontato un episodio.

In cima alla torre di un antico castello aveva nidificato una cornacchia. Il proprietario del castello, un cacciatore, forse infastidito dal noioso gracchiare dell’uccello, decise di farlo sloggiare. Ogni volta però che l’uomo saliva sulla torre, la cornacchia si allontanava per tornare quando il cacciatore se n’era andato. Il cacciatore chiese allora aiuto ad un compagno ed entrambi si recarono sulla torre. Uno di loro si nascose e l’altro tornò sui suoi passi. Niente da fare! La cornacchia continuò a rimanere alla larga dalla torre e ritornò soltanto quando vide uscire anche il secondo uomo. Il giorno seguente fu ritentata la stessa trappola e con ben tre cacciatori. Ma anche stavolta la cornacchia non si fece ingannare e tornò al nido sulla torre quando anche il terzo uomo ebbe abbandonato la posta. Alla fine, il padrone del castello vinse la partita, perché si decise ad inviare sulla torre sei uomini, facendone tornare indietro cinque.

Era questo un numero troppo grosso perché l’uccello potesse tenerne il conto.

La cornacchia aveva saputo contare fino a quattro, ma al di là di questo non era riuscita.

I nostri progenitori non debbono essersi comportati molto diversamente dagli animali, per quanto riguarda la concezione di numeri.

Infatti, alcune popolazioni presenti ancora oggi in Sud America, in Africa, in Australia, hanno precisi termini per indicare i numeri uno e due, mentre descrivono con parole, la cui traduzione è “un mucchio”, “una grande quantità”, qualsiasi numero di oggetti o animali maggiori di due.

Questo forse significa che tali popolazioni non sono riuscite a fare distinzione fra gli oggetti reali ed il numero astratto che serve per indicare la loro quantità.

Alcune tribù conoscono i numeri fino a “sette” ed esso, pertanto, rappresenta il numero massimo concepibile, quale sequenza di tante unità aggiungibili una all’ altra. Ma anche in questo caso le “parole-numero” sono abbinate in un concetto che descrive la quantità di determinati oggetti: anche qui non esiste astrazione.

È stato necessario un tempo lungo prima che l’uomo concepisse l’idea di numero, che si capisse, cioè, che un paio d’occhi, due alberi, due animali, due sassi sono soltanto esemplificazioni di un concetto generale: “il numero due”. I nostri antenati dovettero compiere un grande sforzo per staccarsi dalla quotidiana concretezza legata alle necessità della vita per giungere alla conquista delle entità numeriche, completamente slegate da qualsiasi riferimento concreto.

Ai nostri giorni è ovvio che la parola “tre” e il simbolo “3” non vogliono dire tre case, tre barche, tre gelati, ma costituiscono una esposizione scritta o orale che caratterizza tutti i possibili “insiemi” di un certo ordine: “tre”. E questo “3” lo si può collegare  agli oggetti più diversi, concreti o no, che si considerano.

Ecco l’inizio, la base della matematica.

Ma quando gli uomini cominciarono a passare da “due alberi” e da “due sassi” al concetto di “2”?

Questo modo di eseguire i conteggi deve essere stato tale per millenni. Ad un certo momento, però – quando i nostri antenati passarono dalle  esclusive attività della caccia e della pesca a quelle della pastorizia e dell’agricoltura – la necessità di contare con una maggiore precisione si fece sentire. Essi devono essersi accorti che “un mucchio” di quattro pecore è assai diverso da “un mucchio” di dodici o sedici pecore. Così escogitarono sistemi via via più accurati. Alcuni cominciarono a controllare i loro capi di bestiame incidendo per ogni unità un segno sulla corteccia di un albero; altri legavano nodi in corde di liana; altri ancora ammucchiavano conchiglie, o pietruzze, o bastoncini (uno per ogni animale contato). Fu così che gli uomini della preistoria inventarono quel sistema che poi i matematici avrebbero definito come “corrispondenza biunivoca fra due ordini”: tante pietruzze, tante conchiglie, tanti bastoncini, per tanti animali.

Ma l’uomo aveva a sua disposizione la possibilità di una “corrispondenza biunivoca” ancora più semplice e sotto i propri occhi: quando i nostri antenati se ne accorsero cominciarono a fare i loro conti servendosi delle dita delle mani e anche dei piedi.

Per conteggiare entità superiori a dieci o a venti fu creata – non si sa naturalmente da chi – una base di riporto .

Ancora oggi in qualche tribù africana e australiana si usa far di conto in modo estremamente semplice, così: le dieci dita delle mani per il numero “10”; venti dita (mani e piedi) per il numero “20”. Quando questi uomini devono passare a ventuno dicono semplicemente: “un uomo più un dito”. Il numero quarantuno sarà “due uomini più un dito”; quarantadue: “due uomini e due dita”, e così via.

Alcune tribù si trovano ad uno stadio inferiore, in quanto riescono soltanto a contare con una mano, ma anch’ essi hanno capito perfettamente la necessità e la funzione di una “base di riporto”. Essi contano fino a cinque. Il numero “sei” lo indicano con una mano più un dito.

Tratto da:

“Il romanzo dei numeri”, di GianCarlo Masini, Giunti Nardini editore, 1973

 
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Le tracce della base cinque

“Molti commercianti dello stato indiano di Maharashtra ( regione di Bombay) impiegano ancora oggi, per le necessità correnti, una tecnica digitale numerica, singolare e interessante. Essi contano le prime cinque unità, estendendo in successione le cinque dita della mano sinistra. Raggiunto il cinque, stendono il pollice destro, piegando momentaneamente le altre quattro dita della stessa mano, e ricominciando dalla mano sinistra contano fino a dieci. Quando le dita della sinistra sono di nuovo tutte tese distendono l’indice della mano destra per registrare che la mano sinistra è stata contata per la seconda volta. Procedono quindi nello stesso modo, ritornando ogni volta alle dita della mano sinistra per contare i gruppi successivi di cinque, finché le cinque dita della mano destra siano distese.

Così contano fino a 25 tabella base cinque e possono continuare a contare fino a 30, contando di nuovo le dita della mano sinistra divenuta libera: se ciò non basta, ripetono da capo tutto il procedimento, che permette così di raggiungere la sessantina.

L’idea fondamentale che si esprime in questa tecnica digitale risiede nel predominio del raggruppamento per cinque. In tale processo, ogni dito sinistro vale un’unità, mentre ogni dito della destra contrassegna un gruppo di cinque unità. Si tratta, in altri termini, di un esempio di numerazione concreta a base cinque.”

FONTE: STORIA UNIVERSALE DEI NUMERI, GEORGES IFRAH, ARNOLDO MONDADORI EDITORE, 1981
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Passare dalla base dieci alla base cinque

Nella numerazione in base cinque i valori di posizione sono uno, cinque, cinque x cinque, cinque per cinque per cinque, ecc…., che nella numerazione in base dieci, assumono i seguenti valori:

uno= 1

cinque= 5

cinque per cinque = 25

cinque per cinque per cinque = 125

Scriviamo 89 sotto forma di numerale in base cinque.

89 è meno di 125, dunque è più piccolo di un numero in base cinque con quattro cifre. Ma è maggiore di 25, quindi si può scrivere come un numerale in base cinque di tre cifre.

Diapositiva4

Quindi,

89= (3 x cinque x cinque) + (2 per cinque) + 4=

= 324cinque.

Si può anche procedere per divisioni successive e la successione delle operazioni si può anche disporre così:

Diapositiva5

L’ultimo quoziente 2 e i resti dall’ultimo al primo danno il risultato:

317= 2232cinque.

Continua:)

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Un abaco per contare in base cinque e l’addizione

Di seguito  un abaco per la numerazione in base cinque e un esempio dove viene rappresentato il numero 13cinque

Diapositiva6

ADDIZIONE CON L’ABACO

Possiamo usare l’abaco per eseguire delle somme in base cinque.

Qual è la somma di 12cinque e di 22cinque?

Diapositiva7

In questo caso la somma ottenuta è come in base dieci con 12 e 22.

Proviamo un’altra addizione:

Diapositiva8 Continua:)
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La linea dei numeri in base cinque: addizione e sottrazione

Per eseguire semplici somme si può usare anche la linea dei numeri in base cinque:

Diapositiva9

È comodo preparare una tabella di addizione in base cinque:

Diapositiva15

Si possono controllare i risultati ottenuti trasformando i numeri dalla notazione in base cinque a quella in base dieci:

Diapositiva17

LA SOTTRAZIONE IN BASE CINQUE

Nella base dieci se 2+4= 6, allora 6-4= 2 e 6-2= 4, ovvero se a+b=c, allora c-b=a e c-a=b.

Nella sottrazione 6-4 ci chiediamo quale sia il numero che aggiunto a 4 dà 6.

Conoscendo le combinazioni additive dei numeri scritti in base cinque, si possono facilmente sottrarre i numeri in base cinque.

Nella sottrazione 12cinque – 4cinque  basta chiedersi quale numero aggiunto a 4cinque dia 12cinque. Osservando la tabella dell’addizione si vede che il 12cinque si trova nella riga 3

Diapositiva16 E 4cinque + 3cinque = 12cinque, quindi 12cinque – 4cinque= 3cinque

Ancora si possono controllare i risultati ottenuti trasformando i numeri dalla notazione in base cinque a quella in base dieci:

Diapositiva18

Sottraiamo anche nella retta graduata :

Diapositiva10 Continua:)
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I Bastoncini di Nepero per la moltiplicazione in base cinque

Sugli “ Ossi” di Nepero si possono eseguire anche le moltiplicazioni in base cinque, così come si eseguono le moltiplicazioni in base dieci:  qui e qua delle presentazioni sulla moltiplicazione e sulla divisione.

Diapositiva19

Volendo eseguire la moltiplicazione

243cinque x 2 si utilizzano i bastoncini del 2, del 4 e del 3 e si posizionano in ordine vicino all’ index.

moltnepero

Poiché moltiplichiamo per 2 consideriamo i prodotti presenti nella seconda riga:

 

1moltnepero e

Diapositiva20

PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI

In base dieci la moltiplicazione è commutativa; lo è anche la moltiplicazione in base cinque:

3cinque x 4cinque= 4cinque x 3cinque

La moltiplicazione in base dieci gode della proprietà associativa, così come la moltiplicazione in base cinque:

2cinque x (3cinque  x 4cinque)= (2cinque x 3cinque) x 4cinque

L’addizione e la moltiplicazione in base cinque godono delle proprietà commutativa, associativa e distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Fine:)
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