La moltiplicazione per 11

Già nel passato anno scolastico avevamo affrontato questi ‘trucchetti’ di calcolo mentale. A poco a poco, e tempo permettendo,  inseriremo in questo spazio le nostre osservazioni e le nostre scoperte.

Iniziamo con la moltiplicazione per 11.

La moltiplicazione per 11 è molto semplice, ma si può anche imparare a farla mentalmente.

Prendiamo come esempio

254 x 11

Diapositiva1

Il prodotto è 2 794

Una  strategia viene suggerita da Enrico, da Fabrizio A. e da Giovanni:

  1. Si sceglie un numero
  2. Lo si moltiplica per 10
  3. Si aggiunge il numero scelto al prodotto

Esempio:

342 x 11

  1. 342×10= 3 420
  2. 3 420+342= 3 762

Daniele osserva che nel risultato della moltiplicazione in colonna sono presenti le cifre 2 e 4 che si trovano nel primo fattore. Per ottenere le altre cifre del prodotto effettua delle somme:

il 9 del risultato lo ottiene sommando il 4 con la cifra di sinistra vicina:

5+4 è uguale a 9;

e il 7 lo ottiene sommando il 5 con la cifra vicina 2

5+2 è uguale a 7.

Perciò, per eseguire la moltiplicazione per 11 si possono seguire i seguenti passaggi:

Diapositiva3

Sì, ci sembra che tutto proceda bene 🙂

Il giorno dopo raccontiamo ad un compagno che era assente il nostro lavoro e lo invitiamo a risolvere mentalmente una moltiplicazione per 11, utilizzando la strategia scoperta.

274 x 11

Diapositiva4

Il risultato è un numero enorme: 21 014

Ci chiediamo se questo è possibile.

Alcuni di noi ricordano l’approssimazione che ci aiuta a prevedere e a controllare i risultati delle operazioni.

Il 274 nella linea dei numeri è più vicino al 300

Diapositiva5

Possiamo allora pensare a 300 x 11.

Se moltiplichiamo il 300 per la decina di 11 – 300 x 10 – otteniamo 3 000.

Ci rendiamo subito conto che 3 000 è molto più piccolo di 21 000.

Quindi c’è stato un errore nell’applicare la strategia per 11.

Correggiamo, prestando attenzione ai riporti.

Diapositiva6

Adesso va bene. 😉

Questa strategia quindi può essere usata sempre e con tutti i numeri.

Ci sentiamo più soddisfatti.

I bambini e le bambine insieme a m.stra Maria Giovanna

Quinta di Caniga
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La divisione per 11

E dato che siamo in tema…;-) proviamo a cercare qualche strategia nella divisione per 11.

Siamo partiti da un numero già usato:

274:11

274 non è un multiplo di 11,

infatti:

274= 24×11+10

Come possiamo trasformare il dividendo per ottenere una divisione perfetta?

Diversi di noi scrivono questi dividendi:

275; 264; 200; 3322; 242;…

Li verifichiamo con la divisione abituale e scartiamo quelli non divisibili per 11.

A questo punto c’è una corsa di alcuni (beh! forse esagero) per trovare numeri divisibili per 11.

Ecco delle osservazioni, alcune più articolate e altre abbozzate.

Fabrizio O. ha lavorato con alcune divisioni. Ecco la sua verbalizzazione:

Diapositiva9

Io mi sono accorto che in queste divisioni per 11 c’è una regola che mi faceva indovinare i quozienti senza fare la divisione in colonna:

divisibilità per 11quinta 2014 

Con il numero 109 910 la divisione non è perfetta; il quoziente è 9991, con un resto di 9.

 

Io ho provato anche con un numero a tre cifre: 525 dove le cifre dispari erano posizionate una a destra e una a sinistra e la cifra pari al centro, ma ho visto che la divisione non era perfetta.

 

Provo a fare prima le cifre pari a destra e a sinistra e al centro una cifra dispari: 636:11= 57 con un resto di 9.

 

Voglio provare con pari pari e dispari: 887 e sempre non mi dà la divisione perfetta.

 

Voglio provare con un numero dispari dispari e pari: 778:11 e senza eseguire la divisione mi sono accorto che non è perfetta. Il quoziente è 70 e il resto è 8.

Diapositiva7 Diapositiva8

Adesso il criterio di divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre di posto dispari meno la somma delle cifre di posto pari è zero o un altro multiplo di 11.

Così,  4 763 è divisibile per 11, perché

la somma delle cifre collocate negli spazi pari è:

7+3= 10

La somma delle cifre collocate negli spazi dispari è:

4+6= 10

La differenza tra queste due somme (ottenuta sottraendo il numero minore dal maggiore) è:

10-10=0

Diapositiva2 Tra i multipli di 11, Bruno D’Amore e Pinilla,  nel libro http://www.erickson.it/Libri/Pagine/Scheda-Libro.aspx?ItemId=38233 aggiungono sia lo zero sia 11:
“I multipli di un numero naturale sono tutti quei numeri naturali che si ottengono moltiplicando il numero stesso per ogni altro numero naturale”.

Esiste un altro criterio di divisibilità per 11 utile per numeri a tre cifre.

Prendiamo il numero 528.

Si separa il numero scelto in gruppi di due cifre, partendo da destra verso sinistra, e poi si sommano questi gruppi:

5 + 28= 33

Se la somma è un multiplo di 11, il numero scelto è divisibile; in caso contrario non è divisibile.

E anche questa è fatta!

ps. cliccate sulle immagini per visionare le scritte.

I bambini e le bambine insieme a m.stra Maria Giovanna

Quinta di Caniga
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Un problema sulla divisibilità per 11

Dobbiamo trovare dei numeri di 9 cifre, senza che nessuna di queste si ripeta, e che sia divisibile per 11.

Si deve anche scrivere il numero più alto che soddisfi queste condizioni e il numero più basso.

In  classe e organizzati in gruppi si è iniziato a lavorare per la risoluzione di questo problema.

Diapositiva7 Diapositiva8 Diapositiva6

In tutti i gruppi si sono trovati dei numeri multipli di 11:

Diapositiva1 Diapositiva2 Diapositiva3 Diapositiva4 Diapositiva5 ma ancora non è stato trovato il numero maggiore né il numero minore.

Si tratta di determinare in che ordine dobbiamo scrivere le nove cifre perché risulti un multiplo di 11 e per soddisfare le richieste del problema.

Continueremo a cercare 😉

I bambini e le bambine insieme a m.stra Maria Giovanna

Quinta di Caniga

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Pensa a un numero …!

Devi pensare a un numero qualsiasi da 1 a 9:

1.Moltiplicalo per 3;

2. Aggiungi 1;

3. Moltiplica ancora per 3;

4. Aggiungi il numero che hai pensato all’inizio

Il numero a due cifre che è il risultato delle operazioni termina con la cifra? … 

e, …

Pensateci un attimo e raccontateci 😀
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Scegli due numeri

Per questo problemino puoi scegliere due numeri dispari qualsiasi o due numeri pari qualsiasi.

Proviamo con due numeri dispari:

25 e 23

1. Somma i due numeri: 25 + 23= 48

2. Dividi la somma per 2: 48/2= 24

3. Sottrai il numero minore dal numero maggiore: 25 – 23= 2

4. Dividi questa differenza per 2: 2/2= 1

5 Addiziona i due quozienti: 24 + 1=...

Il risultato è sempre… 😉

Esercitati anche nel quaderno.
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Il compleanno

Ecco ora un esercizio che vi consentirà di stabilire la data del compleanno di una persona; un amico, un conoscente,…

Dovete numerare ogni mese in ordine, in modo che:

gennaio sia 1

febbraio, 2

marzo, 3

aprile, 4

e così via.

Invitate quindi il compagno o la compagna ad eseguire i seguenti calcoli.

Se alla fine vi dice il risultato, potrete – trionfalmente 😆 – dirgli/le il mese e il giorno del suo compleanno.

Supponendo che il suo compleanno cada il 13 settembre (…), fate fare i seguenti passi:

1. moltiplicare il numero del mese per 5: 9*5= 45

2. aggiungere 7: 45+7= 52

3. moltiplicare per 4: 52*4= 208

4. aggiungere 13: 208+13= 221

5. moltiplicare per 5: 221*5= 1 105

6. aggiungere il giorno del mese: 1 105+13= 1 118

7. sottrarre 205: 1 118-205= 913

La cifra delle centinaia indica il mese (9 sta per settembre), il numero del giorno è indicato nelle cifre delle decine e delle unità.

Potete quindi con sicurezza affermare:

Il tuo compleanno è il 13 settembre.

Escludiamo per delicatezza l’anno di nascita 😉

E comunque buon compleanno ai nati e alle nate oggi 21 novembre.
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Scegli un numero, di Francesca e babbo Franco :-)

E questo è un altro problemino della serie “Prendi un numero”

Devi seguire queste fasi:

1. Pensa un numero

2. Moltiplica per 2

3. Aggiungi un numero qualsiasi

4. Dividi per 2

5. Sottrai il numero originario

Ecco un esempio:

1. Scelgo il numero: 48

2. Lo raddoppio: 48 * 2= 96

3. Aggiungo un numero qualsiasi: 96 + 10= 106

4. Divido per 2: 106/2= 53

5. Sottraggo il numero originario: 53 – 48= 5

Francesca suggerisce di osservare attentamente il terzo e l’ultimo passaggio del procedimento.

Cosa notate?

da Francesca 🙂 e da babbo Franco , 

classe quinta di Caniga
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Scegli un numero dalle tabelle,di Federica e babbo:-)

Ci sono queste cartelle con dei numeri:

Diapositiva1 Si deve scegliere un numero da una tabella e si devono prendere tutte le carte che contengono il numero che hai scelto.

Facciamo un esempio:

Ho scelto il numero 19 che trovo in tre tabelle:

Diapositiva2Non dico il numero che ho scelto,ma… Federica lo scoprirà velocemente 😉  solo facendo semplici calcoli.

Il numero 63 è invece presente in tutte le tabelle e quindi è facile da scoprire.

Provate a giocare anche voi.

da Federica A. 🙂  e dal babbo,

classe quinta di Caniga

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Pensa un numero, di Enrico

Anche Enrico vuole proporre il suo “pensa un numero” 😀

pensaun numero enrico

Dovete seguire queste fasi:

1. Pensa un numero

2. Moltiplica per 3

3. Aggiungi 6

4. Dividi per 2

Ecco un altro degli esempi di Enrico:

1. Pensa un numero: 5

2. Moltiplica per 3: 5*3= 15

3. Aggiungi 6: 15+6= 21

4. Dividi per 2: 21 : 2= 10,5 

Se voi dite ad Enrico il risultato (in questo caso 10,5), lui vi stupirà indovinando il numero da voi scelto all’inizio.

Provateci.

da Enrico, classe quinta di Caniga
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Trova il risultato

Anche questo giochino vi permetterà di far rimanere  😯 (a bocca aperta e con gli occhi fuori) i compagni e le compagne.

Seguiamo queste fasi.

Si parte sempre da:

1) Scegli un numero

2) aggiungi 11

3) moltiplica per 6

4) sottrai 3

5) dividi per 3

6) sottrai il numero pensato diminuito di 6

7) sottrai il numero pensato aumentato di 1

8) dividi per 2

Il risultato è ?

Esercitatevi anche con questo giochino.

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