Invito alla matematica

L’opera del matematico, come quella del pittore o del poeta, dev’essere bella:

le idee, come i colori o le parole,devono combinarsi in maniera armoniosa…

A lungo andare, non c’è posto nel nostro mondo per la matematica brutta.

G. H. Hardy

invito matematica La matematica,affermano gli autori, è un modo di pensare, un modo di ragionare. “La matematica può servire per decidere se un’idea è giusta o no, o almeno per stabilire se è probabile che sia giusta“. E’ un campo aperto alle esplorazioni, in cui ogni giorno si scoprono idee nuove.

” E’ un linguaggio di simboli che tutti i paesi del mondo capiscono: c’è perfino chi pensa che la matematica sarebbe l’unica lingua comprensibile per gli abitanti di Marte (se esistono!) […] La matematica è stata anche definita come lo studio delle regolarità, dove per regolarità si intende qualsiasi combinazione di forme o di idee che ricorra sistematicamente”.

[…] Il compito dei matematici è di scoprire principi matematici nuovi, dimostrare l’esattezza di teorie nuove,o applicare vecchi principi matematici alla soluzione di problemi nuovi. Il matematico non prova nessun gusto (proprio come voi) a sommare lunghe colonne di numeri. Spesso si occupa di problemi interessanti, come questo:

Se un bambino di cinque anni viaggia nello spazio alla velocità della luce, e torna sulla terra dopo dieci anni, quanti anni avrà al suo ritorno?-

Stupitevi 😯

” Secondo la teoria della relatività di Einstein, al suo ritorno il bambino avrà ancora cinque anni! Finché viaggia alla velocità della luce,il bambino non invecchia.” forse forse è il caso di viaggiare…

L’abilità dei matematici nel risolvere i problemi dipende in buona parte dalla loro sensibilità nel riconoscere le configurazioni regolari: se trovano una regolarità interessante,la studiano e cercano di scoprirvi un significato, una regola,una formula, che la spieghino o descrivano”.

Un bell’esempio di configurazione regolare scoperta da un matematico è dato dal triangolo aritmetico di Pascal . Per visionare un’ attività sul triangolo che ha coinvolto diversi insegnanti  puoi vedere qui, alla voce Triangolo di Tartaglia.

***

Invito alla matematica, di Johnson e Glenn, Zanichelli editore, Bologna 1965

traduzione di Pier Giovanni Donini

Continua:)

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Invito alla matematica1

Il ragionamento nella matematica

Uno dei metodi usati dai matematici per scoprire idee nuove consiste nel compiere esperimenti. Questo metodo è simile a quello usato dagli scienziati in laboratorio.  si chiama ‘metodo sperimentale’, o del ‘ragionamento induttivo’.

Proviamo a utilizzare il metodo sperimentale per risolvere un problema di questo tipo:

– Qual è il massimo numero di pezzi che si ottengono tagliando un cerchietto da una parte all’altra, senza passare per lo stesso punto più di due volte? –

Cominciamo a tracciare delle linee e registriamo i risultati in una tabella:

Diapositiva1osserviamola e scopriamo una regolarità: l’aumento nel numero dei pezzi procede sempre secondo lo schema 1-2-3. Varia anche il numero dei tagli.

Continuerà sempre così?

Proviamo a tracciare qualche altra linea e registriamo ancora in tabella:

Diapositiva2Il numero dei pezzi segue sempre lo schema 1-2-3-4-5.

Questo ci permette di prevedere che

con 6 linee avremo 22 pezzi

con 7 linee ne avremo 29

con 8 linee ci saranno 37 pezzi

e così via, per qualsiasi numero di linee che utilizzeremo.

Ragionamenti di questo tipo,per mezzo dei quali si arriva a una conclusione generale partendo da esempi specifici, si chiamano ‘ ragionamenti induttivi’ “.
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Invito alla matematica 2

Ecco un altro semplice esperimento, che illustra una nota proprietà matematica.

Si possono ritagliare alcuni triangoli di carta di varie dimensioni e strappare ciascun triangolo in tre pezzi,con un vertice in ogni pezzo:

angolitriangoli Controllando con un righello si vede che gli angoli così disposti formano una linea retta.

“[…] Questo esperimento lascia supporre che la somma degli angoli di un triangolo sia uguale a un angolo piatto,cioè a 180°. Ma per quanti triangoli proviamo,non potremo mai esser certi che la somma degli angoli di qualsiasi triangolo sia 180°: potrebbe esistere qualche triangolo dalla forma molto strana che non dà questo risultato. Quindi, per tutte le conclusioni che si ottengono da esperimenti di questo tipo diciamo che sono probabilmente esatte. Le idee scoperte per mezzo di questo metodo induttivo o sperimentale sono spesso vere,ma non sempre e necessariamente vere.” pag. 13-14

Un’altra attività sulla misura degli angoli di alcuni poligoni:

figureDiapositiva4 Che relazione c’è tra il numero dei lati di ciascuna figura e il numero degli angoli piatti (180°)?

La lettura della tabella suggerisce la seguente conclusione:

” La somma S degli angoli di una figura geometrica è uguale al prodotto di 180° per il numero n dei lati diminuito di 2, cioè per (n – 2).

Questo è un altro esempio di metodo induttivo.

Si può arrivare alla stessa conclusione anche seguendo un metodo differente.

Dividere cioè le figure geometriche in triangoli:

Diapositiva3 Ogni figura geometrica si può dividere in (n – 2) triangoli, cioè in un numero di triangoli inferiore di due unità al numero dei lati.

“[…] In base al nostro esperimento precedente con i triangoli, ammettiamo che la somma degli angoli di ogni triangolo sia uguale a 180°. Ammettiamo anche che la somma degli angoli di qualunque figura geometrica sia uguale alla somma degli angoli dei triangoli che la compongono. Allora possiamo concludere che la somma degli angoli di qualsiasi figura geometrica è uguale a (n – 2) x 180°. Esaminiamo il ragionamento che abbiamo fatto. Siamo partiti da alcune idee che supponevamo esatte,oppure che erano state dimostrate in precedenza. Poi ci siamo serviti di queste idee per arrivare a una conclusione a forza di ragionamenti. Non abbiamo eseguito misure. Partendo da un presupposto relativo al numero di triangoli contenuti in qualsiasi figura geometrica, siamo arrivati a una conclusione specifica circa gli angoli di qualsiasi figura geometrica. Questo metodo di ragionamento logico si chiama ragionamento deduttivo “. pag. 17

Continua:)

Articoli collegati (pubblicati nel “vecchio” blog Pintadera)

    mgio

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Invito alla matematica 3

Ciascun settore, o campo, della matematica è stato sviluppato e organizzato in maniera logica. Per questo motivo, si dice che ogni campo della matematica costituisce una struttura logica sistema.

L’aritmetica elementare è un bell’esempio di sistema deduttivo.

Lo studio dei numeri è sempre stato un argomento affascinante.Perfino i più semplici problemi numerici possono suggerire problemi e concetti nuovi.

Non è raro trovare numeri che si raggruppano con insolite regolarità che sottintendono nuove relazioni tra numeri.

Tra le configurazioni più conosciute ci sono i numeri triangolari

1Poi ci sono schemi quadrati :

2 Alcuni numeri, come 6, 10, 15,  si possono rappresentare con uno schema rettangolare:

3 Con altri numeri,come 2, 3, 5,7,11,13,…, non si possono formare né quadrati né rettangoli. Questi numeri si possono dividere soltanto per se stessi e per l’unità e si chiamano numeri primi.

Se rappresentiamo con una freccia un numero primo usato come moltiplicatore,e con un * (asterisco) i prodotti,possiamo tracciare degli schemi -i diagrammi di Hasse che dimostrano come ciascun numero intero sia il prodotto di numeri primi, a partire da 1.

Per esempio:

Diapositiva5 Il diagramma del 9 è:

Diapositiva6

Al 6 si può arrivare per due strade diverse:

invito alla matematica glenn e johnson Altri diagrammi potrebbero essere questi:

Diapositiva8 Diapositiva9 Fine:)

L’attività sui numeri triangolari e quadrati può essere visionata in Maecla
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Rappresentazioni pittoriche,progetto Nuffield per la matematica

Rappresentazioni pittoriche,del Progetto Nuffield per la matematica – Zanichelli editore,1968 –

rappresentazioni pittoriche

Nella quarta di copertina si legge:

“Il progetto Nuffield per l’insegnamento della matematica si propone di ideare << un moderno avviamento alla matematica per bambini dai cinque ai tredici anni>>. Le guide non abbracciano un intero nuovo programma: si insiste sul <<come imparare>> e non su cosa insegnare. L’idea fondamentale di tutta l’opera è che i bambini devono essere lasciati liberi di fare le proprie scoperte e di pensare da soli,piuttosto che apprendere misteriose istruzioni.

I bambini piccoli, per arrivare a capire, non possono seguire direttamente un processo di astrazione,ma hanno bisogno di maneggiare cose: <<attrezzature>> è una parola troppo impegnativa, almeno per alcuni dei materiali usati: sassolini, palline, bilance, globi e così via.

Questa guida si propone di aiutare gli studenti a impadronirsi di una tecnica tra le più suggestive,oltreché indispensabili della matematica: l’ordinamento e lo studio dati ricavati nelle sperimentazioni attraverso i grafici e i diagrammi” 

A pag. 4, nelle osservazioni generali si descrive lo scopo del grafico che “costituiscono un aspetto preponderante del mondo della comunicazione” […] I grafici semplificano una grande quantità di figure, di asserzioni e di calcoli; essi sono una miniera di particolari che possono essere espressi a parole”.

I grafici comunicano informazioni e queste devono essere interpretate. La maggior validità dei grafici consiste però probabilmente nel fatto che essi aiutano i bambini a scoprire relazioni che potrebbero essere passate inosservate. E questo è importante perché la matematica è un intrecciarsi di relazioni. “La rappresentazione grafica è essenziale per lo studio delle relazioni e […] deve essere considerata uno strumento consueto usato dai bambini per registrare e comunicare le proprie esperienze”. 

I grafici inoltre forniscono dati per la pratica del calcolo e da una semplice rappresentazione si può prendere lo spunto per esercizi di questo tipo.

A pag 13 sono infatti elencati i principali argomenti matematici collegati alle rappresentazioni grafiche:

1. il calcolo

2. il linguaggio degli insiemi

3. disuguaglianze

4. mappe

5. misura

6. simmetria

e così via.

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Libro donato dal Maestro Franco Mura

Guarda qui
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Dai grafici all’algebra; progetto Nuffield per la matematica

dai grafici all'algebra Dai grafici all’algebra, Zanichelli editore Bologna, 1970,

traduzione di Flavio Strada,

revisione: Alba Rossi Dell’ Acqua

Indice:

Introduzione

1. Introduzione alle coordinate

2. Sentenze aperte e relativi insiemi-verità

3. I grafici delle disuguaglianze

4. Intersezioni

5. Coordinate e numeri interi

6. Gli interi: sentenze aperte e grafici

Appendice

Lavori dei bambini.

Dalla quarta di copertina:

“Dai grafici all’algebra” continuando il discorso di “rappresentazioni pittoriche” sulla rappresentazione grafica di dati semplici, sviluppa l’uso delle coordinate e introduce le “affermazioni aperte” e gli “insiemi verità”.

Mostra chiaramente l’aspetto grafico di queste relazioni matematiche particolarmente per quanto riguarda le rappresentazioni grafiche delle disuguaglianze,l’intersezione di due rappresentazioni grafiche e le rappresentazioni grafiche coi numeri interi”.

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Calcoli e strutture

calcoli e strutture Questa guida, tradotta da Vanni Papi, con la revisione di Alba Rossi Dell’Acqua si propone di introdurre le operazioni e i sistemi di numerazione.

Indice

1. I numeri naturali:  questo capitolo si occupa dello sviluppo storico dei numeri naturali e arriva all’intuizione del concetto astratto di numero mediante una sua visualizzazione

2. Lo sviluppo di pesi e misure: qui si tratta della capacità come misura di quantità di sostanze liquide o non liquide; del legame tra le misure di capacità e quelle di peso e volume; dell’uso abituale di contenitori di sezione varia e della necessità dei campioni standard.

3. Contando – Verso l’addizione: qui viene introdotta l’operazione binaria dell’addizione; uguaglianze e disuguaglianze; valore secondo la posizione:numerazioni in basi diverse; numeri pari e numeri dispari.

4. L’operazione di addizione

5. Valore posizionale

6. Il tempo: una breve storia sul modo di calcolare il tempo; osservazioni e scoperte sul calendario e sull’orologio. L’aritmetica dell’orologio e altri esempi di aritmetiche ‘finite’

7. Il denaro: riconoscimento delle monete; valutazioni del denaro ricorrendo al peso; breve storia dello sviluppo del sistema monetario; argomenti di interesse particolare.

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Libro donato da Franco Mura

 

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Regolarità nei numeri

Tutti i risultati

delle più profonde ricerche matematiche

debbono in ultima analisi

essere traducibili

nella semplice forma

delle proprietà dei numeri interi

Leopold Kronecker

Questo bel libriccino, regolarità nei numeriRegolarità nei numeri,di Glenn e Johnson, Zanichelli, 1969, traduzione di Vittorio Duse,  fuori catalogo, è dedicato al tema sulle regolarità numeriche.

Nel primo capitolo,Alla scoperta di regolarità numeriche” si legge:

Attraverso i secoli l’uomo ha sempre mostrato interesse per talune regolarità matematiche.Gli antichi Egiziani e i Greci fecero largo uso di figure geometriche regolari nella loro architettura. Gli Arabi, gli Indiani e i Greci studiarono schemi regolari di numeri e certe scuole attribuivano addirittura poteri magici a talune combinazioni numeriche. I matematici e gli scienziati moderni cercano di scoprire schemi e regolarità nei risultati numerici di esperimenti e di problemi, perché tali scoperte conducono spesso a nuove importanti idee.”

Osserviamo queste relazioni:

1 x 9 + 2= 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4= 1111

1234 x 9 + 5= 11111

12345 x 9 + 6= 111111

e così via.

Potremmo controllare eseguendo le operazioni se tutte queste uguaglianze sono vere, ma … forse forse sarebbe un procedimento lunghino.

Osserviamo una delle relazioni:

123 x 9 + 4= 1111

e cerchiamo di trasformarla.

Scriviamo 123 nella forma

111 + 11 + 1

Ne segue

123 x 9 = ( 111 + 11 + 1) x 9

cioè: 999 + 99 + 9.

Se si aggiunge 4 (scritto come 1+1+1+1) si ha:

(999+1) + (99+1) + (9+1) + 1,

ovvero 1 000+100+10+1, cioè 1 111.

Questo metodo dimostra che tutte le precedenti espressioni sono vere, poiché per ciascuna di esse si può seguire lo stesso procedimento.

******

Belline anche le seguenti regolarità (che osserveremo più attentamente al rientro sui banchi di scuola 😉 ).

1 x 8 + 1= 9

12 x 8 + 2=…

123 x 8 + 3=…

e questa:

1 x 8 -1= 07

21 x 8 – 1= 167

321 x 8 – 1= …

e questa ancora:

7 x 7= 49

67 x 67= 4489

667 x 667= 444889

Continua:)

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Quadrati di numeri: regolarità

Si possono costruire schemi numerici regolari semplicemente scrivendo i numeri in maniere diverse;è quanto si legge nel libro citato nell’articolo precedente.

Un esempio poco consueto si può notare elevando al quadrato i numeri interi e scrivendoli in un modo del tutto particolare:

1²=1

2²= (1 + 1)² = 1 + 2 + 1

3²= (1 + 1 + 1)²= 1 + 2 + 3 + 2 + 1

4²= (1 + 1+ 1 + 1)²= 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

Si può controllare l’esattezza di tali risultati eseguendo così la moltiplicazione:

quadrati di numeri Uno schema numerico regolare simile al precedente è:

1²= 1

11²= 121

111²= 12 321

1111²= 1 234 321

e si può vedere l’analogia con l’esempio precedente calcolando 1111² nel modo seguente:

1quadrati di numeri Continua:)
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Regolarità nel calcolo

Il calcolo con numeri conduce alla scoperta di relazioni interessanti.

Moltiplichiamo, per esempio, tre numeri interi qualunque consecutivi, (1) (2) (3), oppure (2) (3) (4), oppure (10) (11) (12).

Il prodotto è divisibile per 6.

La ragione di ciò sta nel fatto che quando si considerano tre numeri interi consecutivi uno dei tre è sempre un numero pari e uno di essi è certamente un multiplo di 3.

Talvolta uno stesso numero può soddisfare entrambe le condizioni.

Nel prodotto (5) (6) (7), 6 è un numero pari ed è anche divisibile per 3.

Un’altra regolarità si scopre moltiplicando quattro numeri interi consecutivi a partire da 1. (1) (2) (3) (4)= 24;

aggiungiamo 1: 24 + 1= 25

abbiamo trovato un quadrato perfetto:-).

Moltiplichiamo adesso quattro numeri interi consecutivi a partire da 2:

(2) (3) (4) (5) = 120, aggiungiamo 1: 120 + 1= 121 un altro numero quadrato.

Ancora moltiplichiamo 4 numeri interi consecutivi a partire da 3:

(3) (4) (5) (6) = 360, aggiungiamo 1: 360 + 1= 361

anche questo è un numero quadrato (19 x 19).

Anche questa è una bella regolarità :-P:

il prodotto di 4 interi consecutivi più 1 fa nascere numeri quadrati.
op. cit. “regolarità nei numeri”
Continua:)
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